抽象空间的秩序：「线性代数」课程笔记

抽象空间的秩序
「线性代数」课程笔记

2023-06-24

推理到跑通

计科生涯

[1.x] 知识点提纲#

[1.1.x] 行列式#

二阶行列式计算
- 主对角线 $-$ 副对角线
三角行列式计算
- 上/下三角：主对角线元素乘积
- 行列式性质：
  - 某行/列的k倍加到另一行/列，行列式值不变
  - 某行/列所有元素公因子可以提到行列式外
  - 交换两行/列，行列式值变号
行和相等行列式计算
- 把后面所有列加到第一列，提公因子，使得第一列全部变成1
- 行变换，化成三角行列式
范德蒙德行列式计算
- 特点：
  - 第一行/列元素全为 $1$
  - 每一列/行元素均为等比数列，且公比元素在第 $2$ 行/列
  - 结果为公比元素作差再相乘
爪形行列式计算
- 通过提公因子，将主对角线第 $2,3,...,n$ 个元素化为 $1$
- 化为三角行列式
余子式、代数余子式
- 余子式 $M_{ij}$ 无符号；代数余子式 $A_{ij}$ 有符号
- 行列式 $=$ 某行/列元素乘以相应代数余子式后求和
- eg. 求 $A_{31}+3A_{32}-2A_{33}+2A_{34}$ $A_{31} + 3 A_{32} - 2 A_{33} + 2 A_{34}$
  - 把行列式 $D$ 中 $a_{31},...,a_{34}$ 分别替换为对应系数 $1,3,-2,2$ 后再求行列式即可。
- eg. 求 $M_{31}+3M_{32}-2M_{33}+2M_{34}$ $M_{31} + 3 M_{32} - 2 M_{33} + 2 M_{34}$
  - 通过 $M$ 和 $A$ 的代换，将原式化为： $A_{31}-3A_{32}+(-2A_{33})-2A_{34}$
  - 再系数替换，求新的行列式
用拆和的方法计算行列式
- 当行列式某行/列为两数之和，行列式可分解为两行列式之和（其余行/列元素不变）
- 当行列式某两行/列元素成比例，行列式等于零
拉普拉斯公式计算行列式
- $D=\begin{vmatrix} a_1&a_2&0&0 \\ a_3&a_4&0&0 \\ c_1&c_2&b_1&b_2 \\ c_3&c_4&b_3&b_4 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}A&0\\C&B\end{vmatrix}=|A||B|=\begin{vmatrix} a_1&a_2\\a_3&a_4 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} b_1&b_2\\b_3&b_4 \end{vmatrix}$
- 若不符合主对角线形式的拉普拉斯公式，可以通过行/列调换使得其变成主对角线形式
- $D=\begin{vmatrix}0&A_{m\times m}\\B_{n\times n}&C\end{vmatrix}=(-1)^{m+n}|A||B|=(-1)^{m+n}\begin{vmatrix} a_1&a_2\\a_3&a_4 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} b_1&b_2\\b_3&b_4 \end{vmatrix}$

[1.2.x] 矩阵#

矩阵的乘法
- [Tip]矩阵乘法不满足交换律，满足分配律
抽象矩阵求逆矩阵
- [Key]根据条件出发，找出相乘为E的矩阵
- [Key]拆出来 or 长除法
- [Tip]对 $A$ 而言，根据 $AB=E$ 找出相应的 $B$
数字型求逆矩阵
- [Key]利用行变化法求逆矩阵： $(A|E)\xrightarrow[]{行变换}(E|A^{-1})$
- [Key]二阶矩阵逆矩阵秒杀「两调一除」： $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ ; $A^{-1}=\frac{1}{\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$
- [Tip]方阵 $A$ 可逆 $\Leftrightarrow$ $\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}\neq0$
求解矩阵方程
- $AX=B \Longrightarrow X=A^{-1}B$
- $XA=B \Longrightarrow X=BA^{-1}$
- $BXA=C \Longrightarrow X=B^{-1}CA^{-1}$ $BX A = C ⟹ X = B^{- 1} C A^{- 1}$
  - 前提都是 $A^{-1}、B^{-1}$ 存在
- $AA^*=A^*A=|A|E$ $A A^{*} = A^{*} A = ∣ A ∣ E$ ; $A^*=|A|A^{-1}$ $A^{*} = ∣ A ∣ A^{- 1}$
  - 用来解决矩阵方程中的 $A^*$
- [Tip]行列式外系数乘进去是一行/一列；矩阵外系数乘进去是每一个元素
方阵的行列式
- $|A^{-1}|=|A|^{-1}$ ; $|A^T|=|A|$ ; $|kA_{n\times n}|=k^n|A|$ ; $|A^{*}_{n\times n}|=|A|^{n-1}$
- $|AB|=|A||B|$
- $|A+B|\neq|A|+|B|$ ，就是说不能把里面的各个方阵分开求行列式再加和
- [Tip]提出来行列式内系数 $k$ 的时候也要注意，若方阵是 $n$ 阶，提出来的是 $k^n$
方阵的转置与逆
$\begin{aligned} (A^T)^T &= A, &\qquad (A^{-1})^{-1} &= A \\ (A+B)^T &= A^T + B^T, &\qquad (kA)^T &= kA^T \\ (kA)^{-1} &= \frac{1}{k}A^{-1}, &\qquad (AB)^T &= B^T A^T \\ (AB)^{-1} &= B^{-1}A^{-1}, &\qquad (A^T)^{-1} &= (A^{-1})^T \end{aligned}$
矩阵的秩
- $A\xrightarrow[]{初等行变换}B_{阶梯型}$ ，则 $r(A) = n_{B非零行数}$
- 满秩矩阵 $\Leftrightarrow$ 非奇异矩阵 $\Leftrightarrow$ 矩阵可逆 $\Leftrightarrow$ 对应行列式不为零
- 秩也是矩阵中线性无关行（或列）的最大个数
矩阵秩的不等式

\begin{aligned} r(AB) &\le \min\{r(A),\,r(B)\}\\ r(A+B) &\le r(A)+r(B)\\ r(A\,|\,B) &\le r(A)+r(B)\\ r(A)+r(B) &\le r(AB)+n \end{aligned}

对 $AB=O$

r(A_{n\times n})+r(B_{n\times n})\leq n

对 $A_{n\times n}(n\geq2)$

r(A^*)= \begin{cases} n&r(A)=n\\ 1&r(A)=n-1\\ 0&r(A)<n-1 \end{cases}

若 $C=\begin{pmatrix}A&O\\O&B\end{pmatrix}$

r(C) = r(A)+r(B)

若 $C=\begin{pmatrix}A&O\\O&B\end{pmatrix}$

r(C) = r(A)+r(B)

若 $C=\begin{pmatrix}A&C\\O&B\end{pmatrix}$ $r(C) \geq r(A)+r(B)$

[1.3.x] 向量组的线性相关#

判别向量组线性相关性-数字型
- [Key]两个向量 $\alpha_1,\alpha_2$ 相关 $\Leftrightarrow$ $\alpha_1$ 与 $\alpha_2$ 对应成比例 $\Leftrightarrow$ 方阵 $|\alpha_1,\alpha_2|=0$
- [Key]多个向量 $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m$ 相关（无关） $\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{rcl}|\alpha_1,...,\alpha_m|=0(\neq0)&方阵\\r(\alpha_1,...,\alpha_m)<m(=m)&非方阵\end{array} \right.$
判别向量组线性相关性-抽象型
- [Key·1]逆向思维，复杂矩阵抽离成简单分块矩阵相乘： $(\beta_1,\ \beta_2,\ \beta_3)=(\alpha_1,\ \alpha_2,\ \alpha_3)C$ $(β_{1}, β_{2}, β_{3}) = (α_{1}, α_{2}, α_{3}) C$
  - eg. $(\alpha_1+3\alpha_2,\ 2\alpha_1+4\alpha_2)=(\alpha_1,\ \alpha_2)\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}$
  - eg. $(\alpha_1-\alpha_2,\ 2\alpha_2-\alpha_3,\ \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3)=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\begin{pmatrix}1&0&1\\-1&2&1\\0&-1&1\end{pmatrix}$
- [Key·2] $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 线性无关，则： $\left\{\begin{array}{rcl}|C|=0\Rightarrow\beta_1,\beta_2,\beta_3相关\\|C|\neq0\Rightarrow\beta_1,\beta_2,\beta_3无关\end{array} \right.$ ${∣ C ∣ = 0 \Rightarrow β_{1}, β_{2}, β_{3} 相关 ∣ C ∣ \neq = 0 \Rightarrow β_{1}, β_{2}, β_{3} 无关$
  - 换言之： $\left\{\begin{array}{rcl}无关组\cdot不可逆阵\Rightarrow相关\\无关组\cdot可逆阵\Rightarrow无关\end{array} \right.$
求向量组的秩和极大无关组
- [Key] $r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=$ 矩阵 $(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ 的阶梯型中非零行数
- [Key] $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 的极大无关组一般取阶梯型「拐弯处」所在列向量
  - eg. $(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\rightarrow\begin{pmatrix}1&4&1\\0&-9&5\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$ ，则 $\alpha_1,\alpha_2$ 可以构成一个极大无关组

[1.4.x] 线性方程组#

齐次方程组 $AX=O$ 的求解
$A_{m\times n}X = O \;\Longrightarrow\; \begin{cases} r(A_{m\times n}) = n, & \quad AX=0 \text{ 只有零解（唯一解）}, \\[6pt] r(A_{m\times n}) < n, & \quad AX=0 \text{ 有非零解（无穷多解）}. \end{cases}$
- [Tip]系数矩阵的列数（ $A_{m\times n}$ 中的 $n$ ）就是未知数的个数
- 基础解系：当 $AX=O$ 有无穷解时，解集的极大无关组为基础解系
  - [Key]基础解系含解向量个数为 $n-r(A)$
  - [Tip] $n-r(A)=$ 基础解系含解向量个数 $\Leftrightarrow$ 未知数个数 $-$ 有效方程个数 $=$ 自由变量个数
- 基础解系求法：
  - 把系数矩阵化为行最简形。
    - eg. $A\rightarrow\begin{pmatrix}1&0&2&-1\\0&1&3&4\\0&0&0&0\end{pmatrix}$
  - *「非拐弯处变量」*作为自由变量，有 $n-r(A)$ $n - r (A)$ 个。
    - eg. $\xi_1=\begin{pmatrix}-2\\-3\\1\\0\end{pmatrix}$ , $\xi_2=\begin{pmatrix}-1\\-4\\0\\1\end{pmatrix}$
  - 通解 $X=k_1\xi_1+k_2\xi_2\ (k_1,k_2为任意常数)$
非齐次方程组 $AX=b$ 的求解
- $A_{m\times n}X=b\Longrightarrow \begin{cases} r(A)=r(A|b) \begin{cases} <n& AX=b\ 有无穷解\\ =n& AX=b\ 有唯一解 \end{cases}\\ r(A)\neq r(A|b)~~~~~~~~~~~~~~AX=b\ 无解 \end{cases} \nonumber$
- 非齐次方程组通解 $=$ 齐次方程组通解 $+$ 非齐次方程组特解
  - 齐次方程组通解：用1.的方法
  - 非齐次方程组特解：一般令1.中自由变量为0，导出 $\eta$ （实际上就对应行最简型的最后一列补0）
- $AX=b$ 通解为 $X=k_1\xi_1+k_2\xi_2+...+k_n\xi_n+\eta$
带参方程组求解
- 翻译条件，归纳为无穷解/唯一解/无解从而得出相应方程关系，再根据1.2.知识求解。

[1.5.x] 矩阵的对角化#

数值型-特征值与特征向量
- 求 $A$ 特征值方法：由特征方程 $|\lambda E-A|=0$ 解得 $\lambda$ 即为 $A$ 的特征值（ $|\lambda E-A|$ 称为特征多项式）
- 求 $A$ 特征向量（对应特征值为 $\lambda_0$ ）： $(\lambda_0E-A)x=0$ 的基础解系
抽象型-特征值与特征向量
- 已知抽象矩阵的特征值，求关于抽象矩阵的新矩阵特征值
- 关于 $A$ 的性质：
  - 几何重数： $\lambda_0$ 是 $A$ 的 $k$ 重特征值，称 $\lambda_0$ 的几何重数是 $k$ 代数重数： $\lambda_0$ 对应 $r$ 个线性无关的特征向量（ $r$ 为 $V_{\lambda_0}$ 的维数），称 $\lambda_0$ 的代数重数为 $r$
    - 几何重数不大于代数重数（ $k\le r$ ）
  - 若 $A$ 的特征值为 $\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$
    - 对应特征向量 $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$ 线性无关
    - 【 $A$ $A$ 的行列式等于特征值之积】
      - $|A|=\displaystyle\prod\limits_{i=1}^n\lambda_i$ ，
      - $|A|=0\Rightarrow A$ 至少有一个特征值为0 $|A|\neq0 \Rightarrow A$ 的特征值均非0
    - 【 $A$ $A$ 的迹等于特征值之和】迹：矩阵主对角线元素和
      - $tr A = \displaystyle\sum\limits_{i=1}^n\lambda_i$
  - 若 $\lambda$ 是 $A$ 特征值， $\alpha$ 是对应特征值的特征向量，有 $A\alpha=\lambda\alpha$
  - image-20250910183118144
相似矩阵
- 存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP=B$ ，称 $A$ 相似于 $B$ ，记为 $A\sim B$
- 性质
  - 自反性： $A\sim A$
  - 对称性： $A \sim B \Leftrightarrow B\sim A$
  - 传递性： $A \sim B, B\sim C \Leftrightarrow A\sim C$
  - 若 $A\sim B$ $A \sim B$ ，则：
    - $A,B$ 等价（ $C,D$ 等价 $\Leftrightarrow$ 经过若干次初等行变换，使得 $P_iAQ_j=B$ （ $P_i,Q_i$ 可逆））
    - $A,B$ 有相同特征值、行列式与迹
    - $A,B$ 有相同的秩
    - $kA\sim kB$
    - $A^{-1}\sim B^{-1}$
    - $f(A)\sim f(B)$ $f (A) \sim f (B)$
      - e.g. $3A^2-6A+5E\sim3B^3-6B+5E$
  - $A^m\sim B^m$
矩阵的相似对角化
- 若存在可逆矩阵 $P$ ，使 $P^{-1}AP=\mathit{\Lambda}$ （ $\mathit{\Lambda}$ 为对角矩阵），则称 $A$ 可相似对角化（此时有 $A\sim\mathit{\Lambda}$ ）
- 判定 $n$ 阶矩阵 $A$ 能否相似对角化
  - 充要条件： $A$ $A$ 有 $n$ $n$ 个线性无关的特征向量
    - 如果一个矩阵的特征值都是不同的，那么它一定可以相似对角化
    - 如果一个矩阵每个特征值的代数重数（特征多项式中的重数）等于几何重数（对应该特征值的特征向量的维数）那么它一定可以相似对角化
    - 如果一个矩阵的某个特征值的代数重数大于它的几何重数，那么它一定不能相似对角化
- 把 $A$ 相似对角化的步骤
  - 求 $A$ 特征值 $\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$
  - 求对应特征向量 $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$
  - 令 $P=(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)$ ，则
    $P^{-1}AP={\mathit{\Lambda}}={\rm diag}(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)= \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{pmatrix}$
实对称矩阵
- 实：矩阵元素为实数；对称：方阵，以主对角线为轴对称
- 特征值为实数；对应特征值为实向量
  - 非实对称矩阵就不一定。如 $\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$ 对应特征方程为 $\lambda^2+1=0$ ，对应的特征值为虚根。
- 互不相等的特征值对应的特征向量间两两正交
- 所有特征值的几何重数等于代数重数
实对称矩阵的相似对角化·利用相似矩阵
- n阶实对称矩阵 $A$ 必可对角化，且一定存在正交矩阵 $Q$ ，使得 $Q^{-1}AQ=Q^TAQ={\rm diag}(\lambda_1,...,\lambda n)$
  - 正交矩阵 $Q$ $Q$ 的性质
    - $Q^T=Q^{-1}$
    - $Q^TQ=QQ^T=E$
    - $|Q|=\pm0$
- 把对称阵 $A$ 用正交阵 $Q$ 相似对角化的步骤
  - 求 $A$ 特征值 $\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$
  - 求对应特征向量 $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$
  - 把 $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$ 中不正交的矩阵正交化：
    - 若 $\alpha_1,\alpha_2,...$ 不正交，令
    $\begin{aligned} \beta_1 &= \alpha_1, \\[6pt] \beta_2 &= \alpha_2 - \frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)} \beta_1, \\[6pt] \beta_3 &= \alpha_3 - \frac{(\alpha_3,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)} \beta_1 - \frac{(\alpha_3,\beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)} \beta_2, \\[6pt] &\;\;\vdots \end{aligned}$
  - 单位化所有特征向量，得 $\xi_1,\xi_2,...,\xi_n$
    $\xi_i = \displaystyle\frac{\alpha_i}{||\alpha_i||} \nonumber$
  - 令 $Q=(\xi_1,\xi_2,...,\xi_n)$ ，则
    $Q^{-1}AQ={\mathit{\Lambda}}={\rm diag}(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)= \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{pmatrix} \nonumber$

单矩阵关系

对合矩阵 $A^2=E$

幂零矩阵 $A^2=0$

对称矩阵 $A^T=A$

反对称矩阵 $A^T=-A$

正交矩阵 $A^T=A^{-1}$

初等矩阵通过一次初等行/列变换就可以得到 $E$ 的矩阵

多矩阵关系

等价

定义： $PAQ=B$

向量组等价：两个向量组能够相互线性表出 $\Leftrightarrow$ 两向量组维数相同（包含向量数不一定相同）

矩阵等价：两个同型矩阵能够通过初等变换相互转化 $\Leftrightarrow$ 两同型矩阵秩相等

相似

定义： $P^{-1}AP=B$

本质： $A$ 和 $B$ 是在不同基中的同一个线性变换

判定：着眼于特征值与特征向量

【特征值相等】

矩阵的迹是否相等

矩阵的秩是否相等（求解行列式）

矩阵特征值是否相等

【特征值对应的特征向量相等】

$\lambda E-A$ 和 $\lambda E-B$ 的秩是否相等（看多重特征根）

合同

定义： $P^TAP=B$

判定： $A,B$ 均为实数域上的n阶对称矩阵，则A与B在实数域上合同等价于A与B有相同的正、负惯性指数（即正、负特征值的个数相等）

[1.6.x] 二次型#

二次型的矩阵表示
- 二次型矩阵的三要素
  - $A^T=A$
  - $A$ 的主对角元素为平方项系数
  - $A$ 的非主对角元素为交叉项系数的一半
- e.g.
  $\begin{aligned} f(x_1,x_2) &= 2x_1^2 - x_2^2 + 6x_1x_2 \\ &= \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = x^\top A x , \end{aligned}$
- e.g.
  $\begin{aligned} f(x_1,x_2,x_3) &= x_1^2 + 3x_2^2 - x_3^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3 - 3x_2x_3 \\ &= \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & -\tfrac{3}{2} \\ 1 & -\tfrac{3}{2} & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = x^\top A x . \end{aligned}$
化二次型为标准型
- 只有平方项的二次型称为标准形
- 配方法：
  - $\begin{aligned} a^2+2ab &= a^2+2ab+b^2-b^2 = (a+b)^2-b^2,\\ a^2+ab &= a^2+2a\frac{b}{2}+\left(\frac{b}{2}\right)^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2 = \left(a+\frac{b}{2}\right)^2-\frac{b^2}{4},\\ a^2+a\Delta &= a^2+2a\frac{\Delta}{2}+\left(\frac{\Delta}{2}\right)^2-\left(\frac{\Delta}{2}\right)^2 = \left(a+\frac{\Delta}{2}\right)^2-\frac{\Delta^2}{4}. \end{aligned}$
  - 依次配方所有包含 $x_1,x_2,...$ 的项
  - 当所有项都为完全平方项时，换元（以 $f(x_1,x_2,x_3)$ 为例
    $\begin{aligned} f &= a\, (p_1x_1+q_1x_2+r_1x_3)^2 + b\, (p_2x_1+q_2x_2+r_2x_3)^2 + c\, (p_3x_1+q_3x_2+r_3x_3)^2 \\ &\Rightarrow \begin{cases} y_1 = p_1x_1+q_1x_2+r_1x_3,\\ y_2 = p_2x_1+q_2x_2+r_2x_3,\\ y_3 = p_3x_1+q_3x_2+r_3x_3, \end{cases}\qquad f = a\,y_1^2 + b\,y_2^2 + c\,y_3^2, \\[6pt] &\Rightarrow \begin{cases} x_1 = s_1y_1+t_1y_2+u_1y_3,\\ x_2 = s_2y_1+t_2y_2+u_2y_3,\\ x_3 = s_3y_1+t_3y_2+u_3y_3, \end{cases} \end{aligned}$
  - 记 $x=(x_1,x_2,x_3)^T,y=(y_1,y_2,y_3)^T,P= \begin{pmatrix} s_1 & t_1 & u_1 \\ s_2 & t_2 & u_2 \\ s_3 & t_3 & u_3 \end{pmatrix}$
  - 在线性代换 $x=Py$ 下，得到标准形： $f=ay_1^2+by_2^2+cy_3^2$
    
    若 $f(x_1,x_2,x_3)$ 无法直接配方，先令：
    $\left\{ \begin{aligned} x_1&=y_1+y_2\\ x_2&=y_1-y_2\\ x_3&=y_3 \end{aligned} \right.$
- 正交变化法：
  - 写出 $f$ 的矩阵 $A$
  - 求 $A$ 的特征值 $\lambda_1,...,\lambda_n$
  - 求 $A$ 的特征向量 $\alpha_1,...,\alpha_n$
  - 将特征向量中不正交向量的施密特正交化
  - 所有向量单位化得到 $\xi_1,...,\xi_n$
  - 得到正交矩阵 $Q=(\xi,...,\xi_n)$
  - 记 $x=(x_1,x_2,x_3)^T$ ， $y=(y_1,y_2,y_3)^T$
  - 在线性代换 $x=Qy$ 下，得到标准形 $f=\lambda_1y_1^2+...+\lambda_ny_n^2$
正定二次型和正定矩阵
- 概念：对任意 $\boldsymbol x\neq \bold0$ ，对实二次型 $f$ 有 $f=\boldsymbol x^TA\boldsymbol x>0$ ，称 $f$ 为正定二次型， $A$ 为正定矩阵
- $A$ 为实对称矩阵 $\Leftrightarrow$ $A$ 正定
- 二次型 $f$ 正定 / 矩阵 $A$ 正定的判定方法（主要）
  - $A$ 的特征值全大于零（即 $f$ 的正惯性指数==未知数个数）
    - 正惯性指数：标准形中正平方项的个数
  - $A$ 的各阶顺序主子式皆大于零

[1.7.x] 线性空间与线性变换#

线性空间
- 定义： $V$ 是集合， $V$ 满足加法、数乘封闭
- 基（类比向量组的极大无关组）
  - $V$ 中能线性表示 $V$ 中任意向量的向量组 $a_1,...,a_m$ 是一组基
- 维数（类比向量组的秩）
  - $V$ 中一组基中包含向量的数目 $m$ 是 $V$ 的维数，记作 ${\rm div}(V)=m$
- $n$ 维实向量空间
  - 所有 $n$ 维实向量构成的集合，记作 $R^n$
  - $n$ $n$ 维基本向量组 $\xi_1,...,\xi_n$ $ξ_{1}, ..., ξ_{n}$ 是 $R^n$ $R^{n}$ 一组基
    - eg. $R^3$ 一组基为 $\begin{pmatrix}1 \\0 \\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 \\1 \\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 \\0 \\1\end{pmatrix}$
  - [Tip]任意 $n$ 个线性无关的 $n$ 维实向量一定能构成 $R^n$ 一组基
  - [Tip]方阵 $A_{n\times n}$ 满秩（ $|A|\neq0$ ），则 $A$ 行/列向量一定能构成 $R^n$ 一组基
- 向量在基下的坐标
  - 设向量空间 $V$ 有一组基 $\{e_1,\dots,e_n\}$ ，对于 $V$ 中的任意向量 $\beta$ ，它可以表示为基向量的线性组合： $\beta=a_1e_1+\dots+a_ne_n=(e_1,\dots,e_n)(a_1,a_2,\dots,a_n)^T$
    
    称 $(a_1,a_2,\dots,a_n)^T$ 为向量 $\beta$ 在基 $\{e_1,\dots,e_n\}$ 下的坐标。
  - [Tip] $R^n$ 有无数组基
  - [Tip] 同一向量在一组基下坐标唯一，在不同基下坐标不同
- 过渡矩阵
  - 同一向量空间下不同基变换使用的矩阵
  - 设 $V$ 下有两组基 $\{\alpha_1,\dots,\alpha_n\},\{\ \beta_1,\dots,\beta_n\}$ ，其向量组分别记为 $A,B$ $A=BC_{m\times m}$ ，则 $C$ 是 $B$ 到 $A$ 的过渡矩阵
  - 若 $\beta$ 在两组基下坐标分别为 $x=(x_1,\dots,x_n)^T,x'=(x_1',\dots,x_n')^T$ 称 $x=Cx'$ 或 $x'=C^{-1}x$ 为坐标变换公式
- 向量的内积、长度和夹角
  - 设 $\alpha = (\alpha_1,\dots,\alpha_m)^T,\beta=(\beta_1,\dots,\beta_m)^T$
  - 内积： $(\alpha,\beta)=\sum\alpha_i\beta_i$ $(α, β) = \sum α_{i} β_{i}$ （点乘，相当于 $\alpha·\beta$ $α \cdot β$ ）
    - $(\alpha,\beta)=0$ ，称 $\alpha,\beta$ 正交
  - 长度： $\lVert\alpha\rVert=\sqrt{(\alpha,\alpha)}$ $∥ α ∥ = (α, α)$
    - $\lVert\alpha\rVert=0\Leftrightarrow\alpha=\mathbf{0}$
    - 单位向量：长度为1
    - 单位化： $\alpha\rightarrow\displaystyle\frac{\alpha}{\sqrt{(\alpha,\alpha)}}$
  - 夹角： $\langle\alpha,\beta\rangle={\rm arccos}\displaystyle\frac{(\alpha,\beta)}{\lVert\alpha\rVert\lVert\beta\rVert}$
- 正交向量组与正交基
  - 正交向量组：一组非零且两两正交的向量组
  - 正交基：基为正交向量组
  - 标准正交基/规范正交基：基为正交向量组且每个基为单位向量
- 向量组的正交化和单位化